Programme de Mathématiques
Cours traité à raison de 5 h / semaine pendant 26 à 27 semaines
Objectifs de formation :
L'enseignement des mathématiques dans les classes préparatoires post BTS-DUT doit donner aux étudiants issus de l'enseignement technologique supérieur court des bases solides leur permettant de suivre avec profit des études dispensées en écoles d'ingénieurs ou vétérinaires.
L'objectif est de former des personnes capables d'utiliser des mathématiques pour résoudre les problèmes posés par des situations concrètes.
L'algèbre linéaire, que ce soit dans ses aspects géométriques ou matriciels en constitue un point fort. Elle prépare à l'apprentissage des méthodes descriptives multidimensionnelles.
Les probabilités, largement étudiées en BTSA, sont consolidées avec les apports nouveaux du calcul intégral dans le cas des phénomènes continus et trouvent leur légitimité dans les théorèmes de convergence.
PRÉAMBULE AU PROGRAMME
Le niveau de référence à l'entrée en classe préparatoire post BTS-DUT est celui du BTSA.
Un effort important a été fait pour simplifier la présentation des objets mathématiques rencontrés dans ce programme et l'exposition des résultats essentiels. Les développements formels ou trop théoriques doivent être évités. Une place importante doit être faite aux applications, exercices, problèmes, en relation le cas échéant avec les enseignements de physique, de chimie, de biologie et de sciences de la Terre, en évitant les situations artificielles ainsi que les exercices de pure virtuosité technique.
Le programme contient des travaux pratiques. Ils sont de deux sortes : les uns mettent en oeuvre des techniques classiques et bien délimitées, dont la maîtrise est exigible des étudiants. Les autres, intitulés Exemples de, visent à développer un savoir-faire ou à illustrer une idée : les étudiants doivent acquérir une certaine familiarité avec le type de problème considéré, mais aucune connaissance spécifique ne peut être exigée à leur propos et toutes les indications utiles doivent être fournies.
Les calculatrices `
Les aspects algorithmiques de certains problèmes étudiés doivent être mis en valeur. Les étudiants doivent savoir utiliser une calculatrice scientifique programmable, graphique, permettant le calcul matriciel.
I - NOMBRES COMPLEXES
(Les nombres complexes sont étudiés en tant qu’outil)
Nombres complexes ; nombres complexes conjugués. Représentation géométrique d'un nombre complexe : affixe d'un point, d'un vecteur.
Module d'un nombre complexe ; module d'un produit, inégalité triangulaire.
Nombres complexes de module 1 ; argument d'un nombre complexe non nul, notation exp(ix).
Relation exp(i(x+x')) = exp(ix).exp(ix’), lien avec les formules d'addition ; formule de Moivre ; formules d'Euler ...
Travaux pratiques :
Résolution des équations du second degré à coefficients réels
Mise en oeuvre, sur des exemples, des formules de Moivre et d’Euler (linéarisation de polynômes trigonométriques).
II - GÉOMÉTRIE
(Cette rubrique est étudiée pour son utilité en sciences physiques et en probabilités. En outre, elle sert à la fois de support intuitif et de terrain d’application à l'algèbre linéaire.)
Repères. Changement de repère.
Équations et représentations paramétriques d'une droite du plan ou de l'espace.
Équations d'un plan.
Produit scalaire, norme euclidienne.
Distance d'un point à une droite, à un plan.
Projection orthogonale d'un point sur une droite, sur un plan.
Travaux pratiques :
Exemples de situations permettant de rencontrer le parallélisme de droites et de plans, les projections (orthogonales ou non), le théorème des trois perpendiculaires, le théorème de Pythagore.
III - ALGÈBRE LINÉAIRE
Espace vectoriel IRn sur lRp. Sous-espaces vectoriels de JRn .
Intersection de sous-espaces. Sous-espace engendré par une famille finie. Somme de deux sous-espaces. Somme directe de deux sous-espaces, sous-espaces supplémentaires.
Dépendance et indépendance linéaire d'une famille finie.
Bases et dimension de sous-espaces vectoriels de IRn
Rang d'une famille finie de vecteurs.
Application linéaire de IRn dans IRp. Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition.
Noyau, image, rang.
Relation : dim Ker f + dim Im f = dim E.
Matrices.
Matrice d'une application linéaire de IRn dans IRp, une base ayant été choisie dans chacun des espaces vectoriels IRn et IRp.
Opérations sur les matrices : addition, multiplication, produit par un scalaire, transposition.
Déterminant, inverse d'une matrice carrée d'ordre n de déterminant non nul. Matrice de passage.
Valeurs propres, vecteurs propres.
Travaux pratiques :Résolution de systèmes d'équations linéaires. Inversion d'une matrice.
Diagonalisation de matrices carrées.
Exemples de situation mettant en oeuvre des projecteurs.
IV - ANALYSE
A) FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
Limites, continuité, prolongement par continuité.
Image d'un segment (resp. intervalle) par une fonction continue sur ce segment (resp. intervalle).
Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Dérivabilité. Inégalité des accroissements finis.
Opérations sur les dérivées : linéarité, produit, quotient, composées.
Dérivées première et seconde : application à l'étude du sens de variation des fonctions, à la recherche d'extremums et de points d'inflexion.
Notation différentielle de la dérivée.
Travaux pratiques :
Étude de fonctions polynômes, de fonctions rationnelles ou comportant des radicaux, de fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles et puissances.
Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielles, puissances.
Exemples d’études de comportements
asymptotiques de fonctions.
Exemples de calcul approché d'une racine d'une équation : f (x) = 0 .
Exemples d'étude de limites de suites définies par Un = f (n) ; Un+1 = f (Un)
Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment : l'existence d'une primitive F de f sur [a, b] étant admise :
Interprétation géométrique.
Relation de Charles, linéarité, positivité, inégalité des valeurs absolues.
Intégration par parties ; intégration par changement de variable.
Intégrale généralisée : définition de l'intégrale d'une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert.
Travaux pratiquesCalcul d'intégrales portant sur des fonctions intervenant en probabilités.
Application du calcul intégral au calcul d'aires.
Exemples d'intégration de fonctions rationnelles décomposées en éléments simples.
C) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Résolution des équations différentielles du premier ordre y'+a(x)y = b(x), où a et b sont des fonctions continues réelles sur un intervalle.
Résolution de y "+ay'+by = f (x) où a et b sont des nombres réels :
- dans le cas où f = 0
- dans le cas où f est une fonction polynôme
- dans le cas où f est une fonction exponentielle du type f(x) = emx.
Travaux pratiques
V - PROBABILITÉS
A) VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
Travaux pratiques
Pour une variable aléatoire réelle discrète: loi de probabilité, fonction de répartition, espérance mathématique; variance; écart type.
Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, exemples d'utilisation de la loi hypergéométrique, loi de Poisson.
Couples de variables aléatoires discrètes réelles Loi conjointe, lois marginales.
Indépendance de deux variables aléatoires réelles discrètes.
Somme de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes.
B) VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES A DENSITÉ
Loi de probabilité (elle est définie par la fonction densité de probabilité). On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur IR et, de plus, admet, sauf peut être en un nombre fini de points, une dérivée continue.
Lois usuelles : loi uniforme, loi normale.
Couple de deux variables aléatoires indépendantes de lois gaussiennes.
Somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois gaussiennes.
C) THEOREMES LIMITES
Inégalité de Bienaymé Tchebychev.
Loi faible des grands nombres. Énoncé du théorème de la limite centrée. Application à la loi binomiale.
Travaux pratiques
Exemples d'étude de problèmes de probabilité issus de jeux, de la vie courante ou des sciences.
Exemples d'utilisation des approximations de la loi binomiale.
Utilisation des tables de probabilité de la loi normale.
